浅谈抽象函数周期————“六部曲”

 湖北省利川市第二高级中学   宁资术

    湖北省利川市第二高级中学  熊锋  

探究一. T=a（周一）定义：设函数y=f(x)的定义域为D，若存在常数a≠0，使得对一切x∈D，且x+a∈D时都有f(x+a)=f(x)，则称y=f(x)为D上的周期函数，非零常数a叫这个函数的周期。

探究二. T=2a（周二）若函数y=f(x)满足或 或 ,则的周期T=2a；（a俗称半周期）

例。若函数y=f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(x)周期为————————。T=4

探究三：T=3a（周三）若函数y=f(x)满足，则的周期T=3a；

证明：由题得：f(x+a)=

探究四: T=4a（周四）若函数y=f(x)对任意实数,都有f(x＋a)＝,则4a是f(x)的一个周期.证明：由题得：f(x+2a)= 再由探究二得：T=4a

探究五：T=5a（周五）若函数y=f(x)满足f(x)+f(x+a)+ +f(x+2a)f(x+3a) +f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则的周期T=5a；

证明：f(x)+f(x+a)+ f(x+2a)f(x+3a) +f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)

 f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)f(x+4a)+f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)f(x+5a)

f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)f(x+4a)+f(x+5a)=

探究六：T=6a（周六）若函数y=f(x)满足，则的周期T=6a.

证明：由题得：f(x+3a)=f(x+a) －f(x+2a)=－f(x)，再由探究一得；T=6a.

典型例题：设数列中，若，则称数列为“凸数列”。

（1）在“凸数列”中，求证：；

（2）设，若数列为“凸数列”，求数列前2010项和

解：（1）由条件得.     

（2）由（1）的结论，，即.。.      

  由（2）得。。

综上，学会抽象函数的周期“六部曲”，遇周期则成竹在胸，事半功倍，水到渠成。