小学数学概念转变的实证研究——以“平行与垂直”为例 

济南市律师南山希望小学    商光申 

一、教材解读 

课标分析：

基本理念：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。

学段目标：“第二学段”中提出了“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征”“初步形成空间观念”。

　　课程内容：“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。

实施建议：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系。组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。 

教材分析：

《平行与垂直》是四年级上册第五单元第一课时的内容。教材注重了从操作活动与生活实际相联系、抽象与直观相结合。教材从学生画直线的活动开始，让学生体会在同一平面内两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况,相交又有不同的情况。量一量发现，有成直角的和不成直角的，建立垂直的表象，抽象出垂直的概念。有位小女孩的两幅图中画的两条直线发生了变化：第一幅图里不相交。第二幅图再画长一些以后，却相交了。目的是让学生认识平行线的本质特征即“永不相交”的含义，建立平行的表象，建构平行线的概念。

学情分析：

“平行与垂直”一课，是在学生认识了直线和角等概念的基础上进行教学的。学生有了一定的空间想像能力，且垂直与平行这些几何图形在我们的日常生活中应用广泛，学生对其已有许多表象认识。平行和垂直的知识，不仅为后续平行四边形、梯形等知识的学习打基础；研究两直线的位置关系，也是学生发展空间观念的有效载体。

二、课例描述

（一）创设问题，情境引入。

问：若干小棒如果洒落地上，任意两根小棒会有怎样的位置关系？

学生猜测。

（说明：从一年级开始，学生就利用小棒学习数数、计算，摆放平面图形。本次又一次由小棒引发新知学习，学生会有很熟悉的感觉，不会感觉本节课有多深奥。）

（二）展开探索，掌握概念

A动动手

1、小组操作：

（1）分别洒落10根、20根小棒，观察出现的情况。

（2）把出现的两根小棒的位置关系用直尺或三角板画下来。

2、教师巡视。

3、交流展示。

（在游戏活动中，充分发挥学生自主性，引导学生观察，发挥学生想象，升华为为数学图形。）

B动动脑

1、我们能不能对这些图形进行分类呢？可以分成几类？为什么这样分？

小组内先各抒己见，再派代表发言。

2、根据学生意见，教师引导：分为“相交”和“不相交”的标准进行分类。

不相交：                                 相交：

3、师：我们所画的如果是直线呢？直线有什么特点？

（向两端无限延伸。） 

不相交的两条直线延伸会怎样？量一量两条相交直线做组成的角分别是多少度？

4、由小组操作延伸、测角，并进行讨论、汇报。

5、师：不相交的两条直线延伸仍不相交，这两条直线叫平行线，也可以说它们相互平行；相交的两条直线形成的四个角，如果都是90度，就说这两条直线相互垂直，其中一条叫另外一条的垂线，这两条直线的焦点叫做垂足。

师：两条直线的关系可以这样展示：在运动中理解平行与相交（垂直）。因为直线是无限延伸的。两条直线在旋转中由平行到相交（垂直）或由相交（垂直）到平行。

（说明：学生在概括图形特征，表述位置关系时，一步一步挖掘图形本质：直线无限延伸，我们只是画出了直线很小一部分。这是理解平行与垂直的基础。学习本课更能深刻理解“直线的特征”。）

6、这就是本节课的重要知识：平行与垂直。

继续学习平行与垂直的基本知识，与生活联系。

（三）应用新知，深化认识

1、生活中有许多这样类似的例子，我们找一找。

2、师：看看教室这些地方，它们是相交吗？平行吗？
（说明：突出强调“研究平行与垂直在同一个平面上” ，深入理解平行与垂直的内涵。）

三、课堂观察设计与数据分析

   1.本节课从最熟悉学习工具——可以称之为“玩具”的学具入手。自始至终在学生的手中“摆弄”，完成对平行与相交（垂直）知识的学习与技能的训练。对于辅助学习，使用率达到了90%。学生的参与度达100%。

2.能够给予学生足够的探究时间与空间，将数学思维由浅层推向深层。

新课伊始抛出探究问题，30秒打开思维空间；小组内每位同学动手操作，探究时间给足，6分钟内将实物情景转化成抽象数学图形；全班集体探索特征，8分钟后又将思维激发；7分钟应用知识，寻找生活中的垂直与平行，发现不同于二维空间的关系——三维空间的关系，将探究推向高潮。

四、课例反思 

1. 在第一次上这节课时，对掉落的小棒，选择其中两根描述位置关系。由于偶然性太大，部分组出现平行的情况比较少，实验数据不全面。面对纷乱的场面，部分学生无从下手，教师要及时出手予以指导。

2. 由于学生年龄特点的原因，生活的局限性，加上学生思维发展不足，空间想像能力不强，无限延伸的理解还是不到位。虽然垂直与平行在日常生活中应用广泛，但理解概念中的“永不相交”比较困难，不能深刻理解“同一平面”的本质。这些问题需要教师帮助他们解决。

参考文献：

1.2011版《全日制义务教育数学课程标准》。

2.人民教育出版社官网“学科资源”。