初中数学微元教学探微

四川省武胜县清平初级中学校   王君

摘要    初中数学教学方法多样，而微元教学法是我的教学实践探索成果。运用微元教学法教学，学生能学得更丰富、更生动，对培育数学核心素养，发展数学思维能力，巩固评价数学学习兴趣，养成用数学方法解决具体问题的习惯等有着积极的促进意义。 

关键词  初中数学；微元教学；探微

微元教学是一种教学方法，其核心思想是“化整为零，并积零归整”。此方法运用于初中数学课堂教学，能帮助学生高效建立数学概念，有效建构数学模型，积极发展几何空间观念和数学逻辑思维，增强运用数学思维解决具体情景问题的能力。本文拟就初中数学课堂运用微元教学法开展教学实践作一些积极的尝试性探究，以期引发同行的广泛思考，丰富初中数学课堂教学成果。

一、建立“微元教学”概念

微元教学是一种方法，更是一种思想。那何为“微元”？圆面积公式πr2的求得方法即为微元法。阅读我国古代数学巨著《九章算术》和《九章算术注》，所获得的“割圆术”就是微元法。具体说来，“微元”即是先将一事或一物（一圆、一面、一体等）无限“微分”下去以近事物本真，然后再将“各微份”累积“归整还原”的方法。由此知，微元既指微小单元；又指微分积分归整方法。

微元教学，则取微分积整方法进行教学设计与实践。即将一核心教学问题分解成无数个小问题，通过具体练习解决各个小问题，以至于还原本真，达成圆满解决情景问题。比如七年级数学第三章“一元一次方程”之第4节“实际问题与一元一次方程”中的“配套问题”教学，我是这样设计的：首先，提出核心问题“学校综合实践类活动木工组制作阅览室学生用阅读凳问题”。具体问题是“一个凳面需与四条凳腿配套，你能解决此类问题吗？”

然后设置具体情景问题“木工组22名同学，利用星期天来制作凳面和凳腿，一个凳面需要四条凳腿配套，若每名同学在单位时间内完成制作12个凳面或20条凳腿，为使凳面与凳腿刚好配套，应分配多少同学做凳面，多少同学做凳腿？”

再是经过该具体问题的解决，建立利用一元一次方程解决配套问题的模型“凳面数乘以4与凳腿数相等”，从而建立起解答此类问题的思维模型，最后运用此“模型”去解决实际问题。

学生经历这一过程，体会到思维的发展与方法的实践，也感悟到化整为零与积零归整的“微元教学”思想。这就是微元教学法。

二、运用“微元教学”，开展实践探索

（一）运用微元教学建立数学概念

数学概念反映的是一类事物的本质属性，显得很抽象，这就要求教学时要运用“微元教学法”予以精心设计，细心指导，耐心帮助。比如人教版八年级下册第十九章“一次函数”第一课时教学，主要任务是建立“函数”的概念。这节课我是以“导学结拓”模式开展教学设计的：一为“导”，读“章前导语”——万物皆变，你发现了哪些数学信息？本章前导语有文字，也有表格，还有图像与解析表达式，有效说明了本章的主要学习内容、方法、思路，学习本章的理论意义和实践价值。

二为“学”，比较下列三则实例，并能据此提炼出合理的结论。

实例1 . 一辆货车以60千米每小时的速度匀速行驶，请列出行驶路程S与行驶时间t的变化关系。

实例2 . 用长度为a的同样的小木棍沿着一个方向摆正方形。请思考并试着解决下列问题：

实例3 . 班委会组织同学看电影《雷锋》，每张电影票价20元，则购买电影票的金额y与参与看电影的人数x之间的关系是怎样的？请思考并完成下列3个问题：

对于上述三个实例，都有相似性，都可以通过表格分析法、图像分析法、关系式表达法进行比较，从而抽象形成共性认识。

⑴ 表格分析法：

⑵列出S与t或y与x关系表达式：

⑵ 图像分析法：

通过比较分析发现，这三个实例有共同特征，问题是相似的同类的，都有一个常量、两个变量，其中变量2是由变量1引起的，并随变量1的变化呈现规律性变化。他们之间的关系，都能用表格法、图像法、解析表达式来规范表达两变量之间的变化关系，这为学生正确理解变量与常量、变量之间关系提供了方便。笔者趁机提出自变量、因变量这两个概念，为学生顺利运用两变量之间关系去解决实际问题奠定了扎实基础。

三为“结”，总结提炼抽象出函数概念。四为“拓”，运用函数概念解决实际问题。这样的教学，正是微元教学法的实践价值所在，它是科学运用学生认知心理特点开展教学设计的典范，充分体现了“先微分，再积分”的教学思想。

（二）运用微元教学法构建数学模型

建构数学模型是初中数学课堂教学中需要着重予以培养的核心素养之一，是初中学生数学学习中的重要方法。实践已经证明，开展微元教学能帮助学生有效建构数学模型。仍以“实际问题与一元一次方程”中的“配套问题”教学为例，来说明运用“整分整”微元教学法解析帮助学生形成解决“配套问题”思维模型的建构过程。首先创设问题情境，即学校为助力校龙舟赛队工作，组织啦啦队队员制作鼓面和鼓槌，要求是一个鼓面需要两只鼓槌配套，若单位时间内一名队员能制作4个鼓面或6只鼓槌，问啦啦队共21名队员中需要多少队员去制作鼓面，多少名队员去制作鼓槌，才能使鼓面与鼓槌刚好配套。教学中，引导学生通过列表分析法、树状图分析法等，建构起数学模型。通过本例教学，学生明白到，一项工程分成甲乙两部分，且甲乙两部分要能刚好配套。为解决这个问题，首先要求得甲乙各部分的人力与工程量，即甲部分有多少人做了多少工程量，乙部分有多少人做了多少工程量；然后进行配套组合，从而解决好资源配组问题，也就是建构起解决配套问题的模型思想。

初中数学中，像这样从实践中去建构思维模型，然后运用模型解决具体情境问题的实例很多，如方程思想，函数思想等等。这类方法，能帮助学生举一反三，触类旁通，对于培养与发展集中思维，形成解决问题的思维习惯具有积极意义。

（三）运用微元教学法发展学生空间观念

空间观念的形成与发展，对学生的后续学习具有重要影响，这也是初中数学学习中的核心素养之一。教学中，我也是常常通过微元教学法来帮助学生完成空间观念的建立与发展的。比如，概念“面积”教学，我让学生先回忆小学数学课中“有关面积”的概念，接着通过看、摸、折叠、视频等手段感知“点”“线”“面”“体”，从而有效区分点、线、面、体，进而从实际情境中抽象出数学概念“面”即平面，适时抛出“曲面”，让学生在认识平面的同时，知道无论是生活中还是数学上都有曲面的存在；然后建立“面积”这一概念以及认识面积的单位，最后进行几个常见平面图形面积的计算推导，建立起计算公式。通过计算与拓展，面可围成几何“体”，如六个大小相等的正方形面围成一个“正方体”，该体的外表面积则是这六个正方形面积之和。像这样由整化分再归整的方法，让学生有效认识到点可成线、线可成面，面可成体，而体中有面，面中有线，线中有点，逻辑层次分明，几何观念清晰，大大发展了学生空间感知能力和空间想象力，对于学生的逻辑推理能力和几何证明能力都有基础性发展意义。

当然，初中数学的教学方法多种多样，无论哪种方法，只要是能厚积学生数学基础，发展学生数学思维，开发数学学习资源，帮助学生解决数学问题，都是可行的，也是科学的。我只是就日常教学中的点滴思考发表一些看法，以期促发初中数学老师更深入的思考，让初中数学教更生动，学得更丰富，收获更张扬一些罢了。